Vektor

Pengertian Vektor Matematika

Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki arah. Vektor juga dapat digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut juga Besar Vektor.

Jika vektor berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis dengan sebuah huruf kecil yang diatasnya terdapat tanda garis/ panah seperti 

Jenis – Jenis Vektor

Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut :

• Vektor Posisi :

Adalah Suatu vektor yang posisi titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a₁, a₂).

• Vektor Nol :

Adalah Suatu vektor yang panjangnya nol. Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

• Vektor Satuan :

Adalah Suatu vektor yang panjangnya satu satuan.

• Vektor Basis :

Adalah sebuah vektor satuan yang saling tegak lurus. Dalam vektor ruang dua dimensi (R²) memiliki dua vektor basis yaitu vektor i  = (1, 0) dan vektor j = (0, 1).

Macam – Macam Beserta Operasi Vektor

Vektor juga memiliki beberapa macam – macam nya, yaitu sebagai berikut :

• Vektor di R² :

Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor atau sebagai Panjang vektor yaitu sebagai :

Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut teta yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.

Operasi Vektor di  R² :

⇒ Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R² :

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak.

Jika  maka 

 Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah berikut ini :

Dalam pengurangan vektor ini, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut ini :

Sifat – sifat dalam penjumlahan vektor adalah sebagai berikut :

⇒ Perkalian Vektor di R² Dengan Skalar :

Suatu vektor juga dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika v adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan  : 

Secara grafis perkalian ini juga dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah berikut ini :

Secara aljabar perkalian vektor dengan skalar  juga dapat dirumuskan sebagai berikut ini :

⇒ Perkalian Skalar Dua Vektor di R² :

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan juga dapat ditulis sebagai :

Contoh Soal Vektor

Contoh Soal 1 :

Diketahui ada titik A(2,4,6), titik B(6,6,2), dan titik C(p,q,-6). Apabila titik A, B, dan C segaris maka tentukan nilai p + q !

Penyelesaian :

Jika titik – titik A, B, dan C segaris maka vektor AB dan vektor AC bisa juga searah atau berlainan arah. Sehingga akan ada bilangan m yang merupakan sebuah kelipatan dan bisa membentuk persamaan berikut ini :

Jika B berada diantara titik A dan C, maka akan diperoleh :

Sehingga Dapat Diperoleh :

Maka kelipatan m dalam persamaan :

Diperoleh :

Jadi, dapat disimpulkan :

p + q = 10 + 14 = 24

Inilah pembahasan lengkap tentang cara menghitung rumus vektor beserta contoh soal dan pembahasannya, semoga bermanfaat…

Peluang

Pengertian Peluang

Peluang bisa diartikan sebagai suatu cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan akan terjadinya suatu peristiwa. di dalam sebuah permasalahan pasti ada ketidakpastian yang disebabkan oleh suatu tindakan yang terkadang berakibat lain.

Misalkan terjadi pada sebuah mata uang logam yang dilemparkan ke atas maka akibatnya dapat muncul sisi gambar (G) atau sisi angka (A), maka sisi yang akan muncul tersebut  tidak dapat dikatakan secara pasti kebenarannya.

Frekuensi Relatif

Frekuensi adalah perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya hasil dari kejadian yang diamati. Dan dari Percobaan melemparkan mata uang logam tersebut  maka frekuensi relative dapat  dirumuskan sebagai berikut :

Ruang Sampel 

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua kejadian (hasil) percobaan yang mungkin terjadi. Ruang sampel dilambangkan dengan S.

Contoh :

a. Ruang sampel pada pengetosan sebuah dadu ialah S =(1,2,3,4,5,6)

b. Ruang sampel pada pengetosan sebuah mata uang logam ialah S= (A, G)

Menentukan Ruang Sampel

Ruang sampel dari hasil melempar dua buah  mata uang juga dapat ditentukan dengan menggunakan tabel (daftar) seperti berikut ini.

Ruang sampelnya ialah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} Kejadian A1 yang dapat memuat dua gambar = (G,G) Kejadian A2 yang tidak dapat memuat gambar = (A,A)

Rumus Peluang Matematika

1.   Peluang Kejadian A atau P(A)

Peluang dari kejadian tersebut  dapat ditentukan dengan cara seperti berikut. S = {1,2,3,4,5,6} maka nilai dari n(S) = 6, A = {2,3,5} maka nilai dari n(A) = 3

dengan begitu maka peluang dari kejadian A yang jumlah anggotanya dapat dinyatakan dalam n(A) dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

Penjumlahan Peluang

1. Kejadian Saling Lepas

dua buah kejadian A dan B dapat dikatakan saling lepas apabila tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen yang terjadi pada kejadian B, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya ialah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

2. Kejadian Tidak Saling Lepas

Maksutnya adalah ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya dapat dituliskanseperti berikut ini:

P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B)

3. Kejadian Bersyarat

kejadian bersyarat dapat terjadi apabila kejadian A dapat mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Maka dari itu  dapat dituliskan seperti berikut ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A) atau P(A n B) = P(B) x P(A/B)

Karena kejadiannya itu saling berpengaruh,makadapat digunakan rumus:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal Peluang

Contoh Soal 1

1.    Pada suatu percobaan melempar sebuah mata uang logam yang dilakukan sebanyak 120 kali, ternyata peluang  muncul angka sebanyak 50 kali. Tentukanlah frekuensi relatif muncul angka dan frekuensi relatif muncul gambar tersebut!

Penyelesaian:

a).Frekuensi relatif muncul angka = Banyak angka yang muncul/Banyak percobaan

                              = 50/120

                              = 5/12

b).Frekuensi relatif muncul gambar = Banyak gambar yang muncul/Banyak percobaan

                                = (120 – 50) / 120

                                = 70/120

                                = 7/12

Contoh Soal 2

1.    Dua buah mata dadu ditos bersama-sama. Tentukan peluang kejadian berikut ini
a. Peluang muncul dadu pertama bermata 4

b. Peluang muncul mata dadu berjumlah 9

Penyelesaian:

Kita buat terlebih dahulu ruang sampel percobaan mengetos dua dadu seperti berikut.

a.     Jumlah mata dadu pertama bermata 4, berarti dadu kedua boleh jadi bermata 1,2,3,4,5, atau 6. Dengan begitu, kejadian muncul dadu pertama bermata 4 adalah :

M = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)} Jadi, P (dadu I bermata 4) = n(M)/n(S) = 6/36 = 1/6 

b.     Kejadian untuk muncul mata dadu berjumlah 9 ialah :

N = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} Jadi, nilai dari P (jumlah 9) = n(N)/n(S) = 4/36 = 1/9

Nah itulah materi peluang matematika yang dapat disampaikan, semoga bermanfaat …

Induksi Matematika

PENGERTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. 

Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) 

dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut.

Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil. Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v₀ anggota V sedemikian sehingga v₀ ≤ v untuk setiap v anggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

(1) S memiliki anggota bilangan 1; dan

(2) Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S. Maka diperoleh S = N.

Contoh Soal

1. Buktikan dengan induksi matematika untuk  n  bilangan asli  

Jawab :

2. Buktikan dengan induksi matematika untuk n  bilangan  asli berlaku 

Jawab :

persamaan garis lurus

Pengertian Persamaan Garis Lurus

Pengertian dari persamaan garis lurus adalah sebuah persamaan yang jika di gambarkan ke dalam sebuah bidang koordinat Cartesius akan membentuk suatu garis lurus. Dan yang di maksud dengan garis lurus iyalah kumpulan titik – titik yang letaknya sejajar.

Pengertian Gradien

Namun sebelum kita mempelajari tentang rumus persamaan garis lurus, kita harus tahu terlebih dahulu karna ada 1 komponen yang tidak dapat terlepas dari persamaan garis lurus yakni Gradien . Lalu apakah yang dimaksud dengan gradien?

Gradien ialah sebuah perbandingan komponen y dan komponen x , atau yang disebut juga dengan kecondongan sebuah garis. Simbol dari gradien iyalah huruf  m.

• Gradien dari persamaan nya ax + by + c = 0

M = komponen X / komponen Y

•  Gradien yang melalui titik pusat nya ( 0, 0 ) dan titik ( a, b )

m = b / a

• Gradien yang melalui titik nya  ( x₁, y₁ ) dan ( x₂, y₂ )

m = y₁ – y₂ / x₁ – x₂ atau m = y₂ – y₁ / x₂ – x₁

• Gradien garis nya saling sejajar  ( / / )

m = sama atau jika di simbolkan iyalah m₁ = m₂

• Gradien garis nya saling tegak lurus ( lawan dan kebalikan )

m = -1 atau  m₁ x m₂ = -1

Rumus Persamaan Garis Lurus

1.     Persamaan Garis Lurus Yang Bentuk Umum ( y = mx ). Persamaan yang melalui titik pusat nya ( 0 , 0 ) dan bergradien m.

   

Contoh :

Tentukan persamaan dari garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 2

Jawab : y = mx

              y = 2 x

2.     Persamaan Garis Lurus Melalui Titik Sejajar ( y = mx + c ). Persamaan garis lurus yang / / dengan y = mx dan bergradien m. Persamaan garis yang melalui titik nya ( 0 , c ) dan bergradien m. ( 0 , c ) iyalah titik potong sumbu y.

3.     Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Titik Nya ( x₁ , y₁ ) Dan Bergradien m. Persamaan nya iyalah seperti ini :

y – y₁ = m ( x – x₁ )

4.     Persamaan Garis Lurus Yang Melalui 2 Titik Yaitu  ( x₁ , y₁ ) Dan ( x₂ , y₂ ).

y – y₁ / y₂ – y₁ = x – x₁ / x₂ – x₁

Posisi Antara 2 Garis

   Posisi antara 2 garis yang di bedakan menjadi 2 buah yaitu sejajar dan tegak lurus. 2 posisi ini memiliki persamaan garis lurus yang saling berhubungan. Sehingga, jika ada 1 persamaan garis lurus yang di ketahui, maka persamaan garis lurus yang saling sejajar atau tegak lurus dengan garis tersebut akan dapat di ketahui.

Lalu persamaan garis lurus tersebut mempunyai syarat hubungan gradien. Syarat gradien dan gambar posisi antara 2 buah garis lurus akan di berikan pada penjelasan di bawah ini silahkan kalian lihat :

1.     Garis Yang Saling Sejajar

Garis sejajar iyalah 2 buah garis yang tidak pernah akan mempunyai titik potong. 2 buah garis yang saling sejajar ini memiliki gradien yang sama.

Diketahui gradien garis g = m_g dan gradien garis h = m_h maka, hubungan antara gradien 2 buah persamaan garis tersebut di nyatakan dalam persamaan di bawah ini :

m_g = m_h

2.     Garis Yang Saling Tegak Lurus

Gradien dari 2 buah garis yang saling tegak lurus juga memiliki hubungan. Hubungan nya yakni di nyatakan bahwa gradien garis kedua merupkan lawan dari kebalikan  gradien garis yang pertama. Atau dengan kata lain bisa di nyatakan bahwa hasil dari perkalian 2 buah gradien tersebut sama dengan -1.

Misalkan gradien garis yang pertama memiliki nilai m₁ = 2 maka nilai dari gradien garis ke dua nya iyalah m₂ = -1/2. Agar lebih jelas nya bisa kalian lihat pembahasan nya di bawah ini :

Diketahui gradien garis g = m_g dan gradien garis h = m_h maka, hubungan antara kedua gradien persamaan garis tersebut di nyatakan dalam persamaan di bawah ini :

m_g x m_h = -1

Contoh Soal :

1.     Tentukan persamaan dari garis lurus yang melalui titik potong garis – garis dengan persaamaan 3x + 2y – 12 dan 5x + 2y = 16 dan sejajar dengan garis 2x + y = 4 iyalah ?

Jawaban :

3x + 2y = 12

 5x + 2y = 16

—————— –

         – 2x = -4

              x = -4 / -2 = 2

3x + 2y  = 12

3 x 2 + 2y = 12

      6 + 2y = 12

            2y = 6

              y = 6 / 2 = 3

Titik potong nya ( 2, 3 ) // 2x + y = 4

m₁ = -a / b = -2 / 1 = -2

m₁ = m₂ = -2

y – y₁ = m₂ ( x – x₁ )

 y – 3 = -2 ( x – 2 )

 y – 3 = -2x + 4

2x + y – 3 + 4 = 0

      2x + y + 1 = 0

Itulah penjelasan lengkap tentang rumus persamaan garis lurus beserta pengertian dan contoh soal nya semoga bermanfaat…