trigonometri

Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r² = x² + y² sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut.

1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut

a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal

Jika tan 5°= p tentukan tan 50°

Jawab :

            

Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap

a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka diperoleh:

sin 2A      = sin (A + B)

= sin A cos A + cos A sin A

= 2 sin A cos

=2 sin A cos A  Jadi,sin2A

b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka diperoleh:

cos 2A      = cos (A + A)

= cos A cos A-sin A sinA

= cos²A-sin2A ……………(1)

Atau

Cos 2A      = cos²A-sin²A

            = cos² A- (1 – cos² A)

= cos² A – 1 + cos² A = 2 cos² A –1     ……….(2)

Atau

Cos 2A      = cos²A-sin²A

= (1 -sin²A)-sin²A

= 1 – 2 sin²A  ………. (3)

Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut :

Cos 2A = cos² A – sin² A= 2 cos² A-1= 1 – 2 sin² A

c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh ;

B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

• 2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
• 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
• 2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
• 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Contoh Soal

Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°

= cos 90° + cos 60°

= 0 + ½

= ½

.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

• sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
• cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Contoh Soal

Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°

jawab:

sin 105° + sin 15°     = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°

= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°

= sin 60° cos 4

C. Identitas Trigonometri

Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut.

• Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
• Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
• Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Contoh soal

Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawab.

sin⁴ α – sin² α   = (sin² α)² – sin² α

= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)

= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α

= cos⁴ α – cos² α