trigonometri

Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r² = x² + y² sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut.

1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut

a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal

Jika tan 5°= p tentukan tan 50°

Jawab :

            

Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap

a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka diperoleh:

sin 2A      = sin (A + B)

= sin A cos A + cos A sin A

= 2 sin A cos

=2 sin A cos A  Jadi,sin2A

b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka diperoleh:

cos 2A      = cos (A + A)

= cos A cos A-sin A sinA

= cos²A-sin2A ……………(1)

Atau

Cos 2A      = cos²A-sin²A

            = cos² A- (1 – cos² A)

= cos² A – 1 + cos² A = 2 cos² A –1     ……….(2)

Atau

Cos 2A      = cos²A-sin²A

= (1 -sin²A)-sin²A

= 1 – 2 sin²A  ………. (3)

Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut :

Cos 2A = cos² A – sin² A= 2 cos² A-1= 1 – 2 sin² A

c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh ;

B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

• 2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
• 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
• 2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
• 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Contoh Soal

Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°

= cos 90° + cos 60°

= 0 + ½

= ½

.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

• sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
• cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
• cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

Contoh Soal

Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°

jawab:

sin 105° + sin 15°     = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°

= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°

= sin 60° cos 4

C. Identitas Trigonometri

Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut.

• Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
• Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
• Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Contoh soal

Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawab.

sin⁴ α – sin² α   = (sin² α)² – sin² α

= (1 cos² α) ² – (1 cos² α)

= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α

= cos⁴ α – cos² α 

Persamaan kuadrat

Persamaan Kuadrat, Pertidaksamaan Kuadrat, dan Fungsi Kuadrat

Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah ax² + bx + c = 0, dengan syarat a tidak sama dengan 0.

Cara-cara penyelesaian persamaan kuadrat:

Pemfaktoran, yaitu dari ax² + bx + c = 0 menjadi (x-+x₁)(x-+x₂) Dengan ; 

   4. x₁ + x₂ = b

   5. x₁ * x₂ = c

 Rumus abc, yaitu :

Jenis-jenis persamaan kuadrat menurut diskriminannya:

D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar rill.

D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki satu akar rill.

D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar rill.

Berbagai macam bentuk persamaan akar kudrat dalam Ujian Nasional.

Bentuk-bentuk dalam pertidaksamaan kuadrat :

ax² + bx + c = 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c > 0

Cara memecahkan soal pertidaksamaan kuadrat dalam menghadapi ujian nasional, yaitu:

a. Ubah kedalam bentuk umum

b. Tentukan pembuat nol sebagai batas penyelesaian

c. Tentukan panjang interval himpunan dari pertidaksamaan tersebut.

Bentuk sederhana dari fungsi kuadrat sama dengan bentuk persamaan kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola.

Bentuk-bentuk parabola bermacam-macam, dan dapat dikategorikan seperti pada tabel dibawah ini :

Koordinat titik puncak parabola pada suatu fungsi kuadrat dapat diketahai melalui rumus berikut.

Kedudukan garis dalam fungsi kudrat dapat diketahui dengan mensubtitusikannya dengan fungsi kuadrat parabola tersebut, hingga akan membentuk suatu persamaan kuadrat baru, lalu kemudian dapat diketahui kedudukannya dengan menghitung nilai diskriminan dari persamaan kuadrat baru tersebut.

Bangun Ruang Sisi Lengkung

Di dalam postingan ini  akan memberikan pembahasan mengenai materi pelajaran matematika untuk kelas 9 SMP yaitu mengenai bangun ruang sisi lengkung. Tahukah kalian apa yang dimaksud dengan bangun ruang sisi lengkung?

Jika belum tahu maka di sini kalian bisa mempelajari pengertian, rumus-rumus yang digunakan, serta contoh soal mengenai bangun ruang lengkung. Ini dia pembahasannya:

Pengertian Bangun Ruang Sisi Lengkung

   Bangun ruang sisi lengkung adalah kelompok bangun ruang yang memiliki bagian-bagian yang berbentuk lengkungan. Biasanya bangun ruang tersebut memiliki selimut ataupun permukaan bidang. Yang termasuk ke dalam bangun ruang sisi lengkung adalah tabung, kerucut, dan bola. 

Tabung

     Tabung merupakan sebuah bangun ruang yang dibatas oleh dua bidang berbentuk lingkaran pada bagian atas dan bawahnya. Kedua lingkaran tersebut memiliki ukuran yang sama besar serta kongruen. Keduanya saling berhadapan sejajar dan dihubungkan oleh garis lurus. unsur-unsur yang ada pada tabung diantaranya adalah:

t = tinggi tabung

r = jari-jari

Rumus-Rumus Yang Berlaku untuk Tabung:

Luas Alas = Luas Lingkaran = πr²

Luas Tutup = Luas Alas = πr²

Luas Selimut = Keliling Alas × Tinggi = 2πr × t = 2πrt

Luas Permukaan Tabung = Luas Alas + Luas Tutup + Luas Selimut

Luas Permukaan Tabung = πr² + πr² + 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2πr² + 2πrt

Luas Permukaan Tabung = 2πr(r + t )

Volume Tabung = Luas Alas × Tinggi

Volume Tabung = πr² x t

Volume Tabung = πr² t

Kerucut

kerucut merupakan sebuah bangun ruang yang alasnya berbentuk lingkaran dan dibatasi oleh garis-garis pelukis yang mengelilinginya membentuk sebuah titik puncak. unsur-unsur yang ada pada kerucut adalah:

t = tingi kerucut

r = jari-jari alas kerucut

s = garis pelukis

Rumus-Rumus Yang Berlaku untuk Kerucut:

Luas alas = luas lingkaran = πr²

Luas selimut = Luas Juring

Luas selimut =     panjang busur    x luas lingkaran

                   keliling lingkaran

Luas Selimut = 2πr x πs²

                 2πs

Luas Selimut = πrs

Luas Permukaan Kerucut = Luas alas + Luas Selimut

Luas Permukaan Kerucut = πr² + πrs

Luas Permukaan Kerucut = πr (r + s)

Volume Kerucut = 1/3 x volume tabung

Volume Kerucut = 1/3 x luas alas x tinggi

Volume Kerucut = 1/3 x πr² x t

Volume Kerucut = 1/3πr²t

Bola

bola merupakan sebuah bangun ruang yang memiliki titik pusat dan membentuk titik-titik dengan jari-jari yang sama yang saling berbatasan. unsur-unsur yang ada pada bola adalah:

r = jari-jari bola

Rumus-Rumus Yang Berlaku untuk Bola:

Luas Permukaan Bola = 2/3 x Luas Permukaan Tabung

Luas Permukaan Bola = 2/3 x 2πr (r + t)

Luas Permukaan Bola = 2/3 x 2πr (r + 2r)

Luas Permukaan Bola = 2/3 x 2πr (3r)

Luas Permukaan Bola = 4πr²

Volume Bola = 4/3πr³

Luas Belahan Bola Padat = Luas 1/2 Bola + Luas Penampang

Luas Belahan Bola Padat = 1/2 x 4πr² + πr²

Luas Belahan Bola Padat = 2πr² + πr²

Luas Belahan Bola Padat = 3πr²

Contoh Soal Bangun Ruang Sisi Lengkung

Contoh Soal  1

Diketahui sebuah tabung memiliki ukuran jari-jari 10 cm dan tinggi 30 cm. Maka coba hitunglah:

- volume tabung

- luas alas tabung

- luas selimut tabung

- luas permukaan tabung

Penyelesaiannya:

Volume tabung

V = π r² t

V = 3,14 x 10 x 10 x 30 = 9432 cm³

Luas alas tabung

L = π r²

L = 3,14 x 10 x 10 = 314 cm²

Luas selimut tabung

L = 2 π r t

L = 2 x 3,14 x 10 x 30

L = 1884 cm²

Luas permukaan tabung

Luas permukaan tabung = luas selimut + luas alas + luas tutup (luas tutup = luas alas)

L =  1884 + 314 + 314= 2512 cm²

Contoh Soal 2

Dketahui sebuah topi petani berbentuk kerucut  memiliki jari-jari sebesar 500cm dan garis pelukis s = 300 cm, maka tentukanlah:

- tinggi kerucut

- volume kerucut

- luas selimut kerucut

- luas permukaan kerucut

Penyelesaianya:

tinggi kerucut

Tinggi kerucut dapat diketahui dengan menggunakan rumus phytagoras:

t² = s² − r²

t² = 300² − 500²

t² = 1600000

t = √1200 = 400 cm

volume kerucut

V = 1/3 π r² t

V = 1/3 x 3,14 x × 500 x 500 x 400

V = 104666667cm³

luas selimut kerucut

L = π r s

L = 3,14 x 500 x 300

L = 4 71000 cm²

luas permukaan kerucut

L = π r (s + r)

L = 3,14 x 300 (500 + 300)

L = 3,14 x 300 x 800 = 7 53600 cm²

Contoh Soal  3

Bila sebuah bola basket memiliki jari-jari sebesar 40cm, maka coba kalian tentukan luas permukaan serta volume dari bola basket tersebut!

Penyelesaiannya:

luas permukaan bola

L = 4π r²

L = 4 x 3,14 x 40 x 40

L = 20096 cm²

volume bola

V = 4/3 π r³

V = 4/3 x 3,14 x 40 x 40 x 40

V = 267946,67 cm³

Itulah pembahasan lengkap Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung SMP Kelas 9 . semoga bisa membantu kalian untuk menguasai materi bangun ruang sisi lengkung dengan lebih baik.